» » » Математические методы исследования экономики

Математические методы исследования экономики


...

                          Лекия 1
     Всегда и во всех сферах своей деятельности человек принимал
  решения. Важная область принятия решений связана с производством.
  Чем больше объем производства, тем труднее принять решение и,
  следовательно, легче допусить ошибку. Возниает естественный
  вопрос: нельзя ли во избежание таких ошибок использовать ЭВМ ?
  Ответ на этот вопрос дает наука, называемая кибернетика.
    Кибернетика (произошло от греческого "kybernetike" - искусство
  управления) - наука об общих законах получения, хранения, передачи
  и переработки информации.
    Важнейшей отраслю кибернетики является экономическая кибернетика
  - наука, занимающаяся приложением  идей и методов кибернетики к
  экономическим системам.
    Экономическая кибернетика использует совокупность методов
  исследования процессов управления в экономике, включая экономико-
  математические методы.
    В настоящее время применение ЭВМ в управлении производством
  достигло больших масштабов. Однако, в большинстве случаев с помощью
  ЭВМ решают так называемые рутинные задачи, то есть задачи, связанные
  с обработкой различных данных, которые до применения ЭВМ решались так
  же, но вручную. Другой класс задач, которые могут быть решены с
  помощью ЭВМ - это задачи принятия решений. Чтобы использовать ЭВМ для
  принятия решений, необходимо составить математическую модель.
    Так ли  необходимо применение ЭВМ при принятии решений ?
  Возможности человека достаточно разнообразны. Если их упорядочить,
 





анию этой задачи и более строгой ее постановке.

                       Этапы решения.
  1) Выбор задачи
  2) Составление модели                           ЪДДДДДДДДДДї
  3) Составление алгоритма                        іисходные  і
  4) Составление программыи                       і данные   і
  5) Ввод исходных данных                         АДДДДДВДДДДЩ
  6) Анализ полученного решения                         і
                                                        і
                     ЙННННННННННННННННННННННННННННННН»ЪДБДї
   ЪДДДДДДДї ЪДДДДДДїєЪДДДДДДї ЪДДДДДДДДї ЪДДДДДДДДДїєі   і ЪДДДДДДДї
   і объектГДґзадачаГЧГмодельГДґалгоритмГДґпрограммаГЧГЭВМГДґрешениеі
   АДДДДДДДЩ АДДДДДДЩєАДДДДДДЩ АДДДДДДДДЩ АДДДДДДДДДЩєі   і АДДВДДДДЩ
                     є   пакет прикладных программ   єАДДДЩ    і
                     ИНННННННННННННННННННННННННННННННј     ЪДДДБДДДДї
                                                           іанализ  і
                                                           ірешения і
                                                           АДДДДДДДДЩ

    Чтобы человеку принять решение без ЭВМ, зачастую ничего не надо.
  Подумал и решил. Человек, хорошо или плохо, решает все возникающие
  перед ним задачи. Правда никаких гарантий правильности при этом нет.
  ЭВМ же никаких решений не принимает, а только помогает найти
  варианты решений. Данный процесс состоит из следующих этапов:

    1) Выбор задачи.
  Решение задачи, особенно достаточно сложной - достаточно трудное
  дело, требующее много времени. И если задача выбрана неудачно, то
  это может привести к потере времени и разочарованию в применении ЭВМ
  для принятия решений. Каким же основным требованиям должна
  удовлетворять задача ?
  А. Должно существовать как минимум один вариант ее решения, ведь
  если вариантов решения нет, значит выбирать не из чего.
  Б. Надо четко знать, в каком смысле искомое решение должно быть
  наилучшим, ведь если мы не знаем чего хотим, ЭВМ помочь нам выбрать
  наилучшее решение не сможет.
  Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой.
  Необходимо четко сформулировать задачу на обычном языке, выделить
  цель исследования, указать ограничения , поставить основные вопросы
  на которые мы хотим получить ответы в результате решения задачи.

  Здесь следует выделить наиболее существенные черты экономического
   объекта, важнейшие зависимости, которые мы хотим учесть при
  построении модели. Формируются некоторые гипотезы развитиця объекта
  исследования, изучаются выделеные зависимости и соотношения.
  Когда выбирается задача и производится ее содержательная постановка,
  приходится иметь дело со специалистами в предметной области
  (инженерами, технологами, конструкторами и.т.д.). Эти специалисты,
  как правило, прекрасно знают свой предмет, но не всегда имеют
  представление о том, что требуется для решения задачи на ЭВМ.
  Поэтому, содержательная постановка задачи зачастую оказывается
  перенасыщенной сведениями, которые совершенно излишни для работы на
  ЭВМ.

    2) Составление модели
    Под экономико-математической моделью понимается математическое
  описание исследуемого экономического объекта или процесса, при
  котором экономические закономерности выражены в абстрактном виде с
  помощью математических соотношений.

      Основные принципы составления модели сводятся к следующим
    двум концепциям:
      1. При формулировании задачи необходимо достаточно широко
    охватить моделируемое явление. В противном случае модель не
    даст глобального оптимума и не будет отражать  суть дела.
    Опасность состоит в том, что оптимизация одной части  может
    осуществляться за счет других и в ущерб общей организации.
      2. Модель должна быть настолько проста, насколько это возможно.
    Модель должна быть такова, чтобы ее можно было оценить, проверить
    и понять, а результаты полученные из модели должны быть ясны как
    ее создателю, так и лицу, принимающему решение.
    На практике эти концепции часто вступают в конфликт, прежде всего
    из-за того, что в сбор и ввод данных, проверку ошибок и
    интерпретацию результатов включается человеческий элемент, что
    ограничивает размеры модели, которая  может быть проанализирована
    удовлетворительно. Размеры модели используются как лимитирующий
    фактор, и если мы хотим увеличить широту охвата, то приходится
    уменьшать детализацию и наоборот.
       Введем понятие иерархии моделей, гдте широта охвата
    увеличивается, а детализация уменьшается по мере того, как мы
    переходим на более высокие уровни иерархии. На более высоких
    уровнях в свою очередь формируются ограничения и цели для более
    низких уровней.

                      рис.Иерархия моделей корпорации

 і   увеличение   ЙНННННННННННННННННННННННННН»         Планирование
 і     широты     є  ОБЩАЯ МОДЕЛЬ КОРПОРАЦИИ є         корпорации в
 і     охвата     ИНСННННННННННСНННННННН7843ДЙЕ





НННСНј            целом
 і             ЪДДДДБДДї    ЪДДБДДДДї    ЪДБДДДДДї
               АДДДДВДДЩ    АДДДВДДДЩ    АДДДДВДДЩ
                 М оід е л и   пір е д п р и яіт и й    Среднесрочное
                  ЪДБДДї    ЪДДДБВДДДДї    ЪДДБДДї      планирование
 і                і    і    і    і    і    і     і
 і  увеличение   ЪБДї ЪБДї ЪБДї ЪБДї ЪБДї ЪБДї ЪДБї
 і  детализации  АДДЩ АДДЩ АДДЩ АДДЩ АДД АДДЩ АДДЩ     Краткосрочное
 і                      Модели подразделений             планирование
                                                         производства

                                                         Календарное
                                                        планирование

  При построении мо





      4) Составление программы.
    Алгоритм записывают с помощью обычных математических символов. Для
    того, чтобы он мог быть прочитан ЭВМ необходимо составить
    программу. Программа - это описание алгоритма решения задачи,
    заданное на языке ЭВМ. Алгоритмы и программы объединяются понятием
    "математическое обеспечение". В настоящее время затраты на
    математическое обеспечение составляют примерно полторы стоимости
    ЭВМ, и постоянно происходит дальнейшее относительное удорожание
    математического обеспечения. Уже сегодня предметом приобретения
    является именно математическое обеспечение, а сама ЭВМ лишь тарой,
    упаковкой для него.
      Далеко не для каждой задачи необходимо составлять индивидуальную
    программу. На сегодняшний день созданы мощные современные
    программные средства - пакеты прикладных программ ( ППП ).
    ППП - это объединение модели, алгоритма и программы.
    Зачастую, к задаче можно подобрать готовый пакет, который
    прекрасно работает, решает многие задач, среди которых можно
    найти и наши. При таком подходе многие задачи будут решены
    достаточно быстро, ведь не надо заниматься программированием.
      Если нельзя использовать ППП для решения задачи без изменения
    его или модели, то нужно либо модель подогнать под вход ППП,
    либо доработать вход ППП, чтобы в него можно было ввести модель.
    Такую процедуру называют адаптацией. Если подходящий ППП находится
    в памяти ЭВМ, то работа пользователя заключается в том, чтобы
    ввести необходимые искомые данные и получить требуемый результат.

      5) Ввод исходных данных.
     Прежде чем ввести исходные данные в ЭВМ, их, естественно,
   необходимо собрать. Причем не все имеющиеся на производстве
   исходные данные, как это часто пытаются делать, а лишь те, которые
   входят в математическую модель. Следовательно, сбор исходных данных
   не только целесообразно, но и необходимо производить лишь после
   того, как будет известна математическая модель. Имея программу и
   вводя в ЭВМ исходные данные, мы получим решение задачи.

     6) Анализ полученного решения
     К сожалению достаточно часто математическое моделирование
   смешивают с одноразовым решением конкретной задачи с начальными,
   зачастую недостоверными данными. Для успешного управления сложными
   объектами необходимо постоянно перестраивать модель на ЭВМ,
   корректируя исходные данные с учетом изменившейся обстановки.
   Нецелесообразно тратить время и средства на составление
   математической модели, чтобы по ней выполнить один единственный
   расчет. Экономико-математическая модель является прекрасным
   средством получения ответов на широкий круг росов, возникающих
   при планировании, проектировании и в ходе производства. ЭММ может
   стать надежным помощником при принятии каждодневных решений,
   возникающих в ходе оперативного управления производством.


                 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БЛОК-СХЕМ
                 -----------------------
    Физическая природа моделируемой системы может быть представлена
    с помощью блок-схемы. Простой пример - предыдущая блок-схема,
    хотя она недостаточно подробна.
    Выделим основные составляющие блок схемы:
    1) Прямыми линиями представлены материальные потоки,
    характеризующиеся определенными свойствами. Это не обязаельно

    должны быть потоки какого-то физического вещества; таким же
    образом могут быть представлены, например, потоки информации,
    денег. Если два материальных потока характеризуются разными
    свойствами и эти различия существенны для модели, то мы должны
    изобразить их разными линиями.
    2) Прямоугольниками представлены блки предприятия и
    оборудование, или, в более общем случае, подсистемы, которые
    имеют свое определенное назначение. Характеристики потоков
    меняются, а блоки являются точками входа и выхода для множеств
    линий, представляющих потоки.
    3) Принято, что общее направление движения потоков происходит
    слева направо. Таким образом, в блок-схеме, описывающей
    производственный процесс, поступающее сырье изображено стрелками
    входа в левой части блок-схемы, а конечные потоки - линиями,
    заканчивающимися справа в столбцах, ыотвечающих конечным
    продуктам. Такие столбцы особенно удобны, когда конечный продукт
    получается соединением нескольких потоков, как мы это увидим в
    нашем примере.


                       ОПИСАТЕЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
                       ------------------------
    Эти ограничения описывают функционирование исследуемой системы.
    Они представляют особую группу балансовых уравнений, связанных с
    характеристиками отдельных блоков, такими как масса, энергия,
    затраты.
    Тот факт, что в модели ЛП балансовые уравнения должны быть
    линейными, исключает возможность представления таких принципиально
    нелинейных зависимостей, как сложные химические реакц





овий функционирования, которые допускают линейное
    описание (хотя бы приближенно) могут быть учтены в модели.
    Балансовые соотношения могут быть введены для какой-то законченной
    части блок-схемы, например для отдельного блока; обычно они
    выписываются для каждого технологичедского потока, который в
    блок-схеме изображается линией. Количество вещества, полученного,
    может быть, более чем из одного блока, входящего в поток, равно
    количеству этого вещества, выходящего из потока (и поступающего
    как сырье, возможно, более, чем в один блок).
    В статических (одноэтапных) моделях такие соотношения можно
    представить в виде: - вход + выход = 0
    Динамический (многоэтапный) процесс описывается соотношениями:
    - вход + выход + накопления = 0, где под накоплениями понимается
    чистый прирост за рассматриваемый период.

    Пусть K потоков входит в какой-то блок, и Xk, k=1...K, количество
    сырья , передаваемого в блок каждым потоком.
    Пусть также из каждой единицы k-го сырья в блоке производится
    количество Aik какого-то i-го продукта. Тогда общее количество
    произведенного продукта определится формулой: E Aik*Xk .

    Предположим далее, что этот продукт сам поступает на вход
    какого-то только одного блока в количестве равном Xi . Тогда
    балансовое соотношение (строка i для потока этого продукта имеет
    вид: - E Aik*Xk + 1.0Xj = 0  (2.2)
    Каждый поток состоит из продуктов, произведенных блоками, и сырья
    и соединяет различные блоки. Тогда при составлении балансовых
    соотношений потоков предполагается следующее:
    1. Для каждого потока определяется балансовое уравнение, которому
    соответствует строка i.
    2. Каждому входу потока в какой-то блок ставится в соответствие
    столбец с коэффициентом, равным +1.0. Каждому столбцу
    соответствует переменная Xj, значение которой определяет объем
    потока, входящего в блок. Поток может входить более чем в один
    блок, тогда в уравнении 2.2. появится несколько членов +1.0Xj,
    каждый из которых будет представлять объем потока на входе в
    соответствующий блок.
    3. Столбец (которому отвечает, например, переменная Xk),
    соответствующий выходу потока продукта из блока, содержит
    коэффициент, равный  -Aik. Заметим, что в одном и том же
    балансовом уравнении могут появиться дополнительные члены, если
    одинаковые потоки (то есть потоки с одинаковыми характеристиками)
    поступают из разных блоков или сырьевых источников.
    В результате получаем балансовое уравнение виа:
     - E Aik*Xk + 1.0Xj = 0 , в котором может быть несколько членов
     вида +1.0Xj, если поток входит более чем в один блок.
     Итак, строка балансового уравнения соответствует потоку, который
     характеризуется набором определенных свойств и может иметь более,
     чем по одной точке входа и выхода. Столбец, которому отвечает
     переменная Xj, соответствует каждой новой точке входа потока в
     блок.
     Дальнейшее условие общего вида, касающееся всех типов
     ограничений, состоит в том, что отрицательные коэффициенты
     указывают на то , что продукт произведен системой, а
     положительные - что он потреблен ею.

             ОГРАНИЧЕНИЕ НА РЕСУРСЫ И КОНЕЧНОЕ ПОТРЕБЛЕНИЕ

  С этими ограничениями ситуация довольно ясная. В самом простом виде
  ограничения на ресурсы - это ограничения сверху на переменные,
  представляющие расход ресурсов, а ограничения на конечное
  потребление продуктов - это ограничения снизу на переменные,
  представляющие производство продукта. Ограничения на ресурсы имеют
  следующий вид: Ai1X1 + ... + AijXj + ... + AinXn <= Bi,
  где Aij - расход i-го ресурса на единицу Xj, j = 1 ... n, а  Bi -
  общий объем имеющегося ресурса.
  Если же ввести новую переменную, например Xn+1, представляющую
  суммарный расход, ограничение примет вид:
   Ai1X1 + ... + AijXj + ... + AinXn - Xn+1 = 0,
                                       Xn+1 <= Bi,

  Определяя Aij как выход i-го продукта на единицу Xj, j = 1 ... n, и
  поменяв знак неравенства на противоположный, мы получим аналогичные
  соотношения для учета конечного потребления, где Bi будет
  представлять общее потребление i-го продукта. Заметим, что
  ограничение на мощность завода и оборудования можно учесть таким же
  образом, как ограничение на ресурс. Зависимость затрат от объема
  используемых ресурсов (или конечного потреблени можно также
  отразить в модели.

                УСЛОВИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ ИЗВНЕ

    Часть ограничений на систему можно рассматривать как внешние. Так
  условия на качество продуктов устанавливаются законодательными
  органами. Аналогично учет окружающей среды накладывает
  ограничения на некоторые свойства продуктов (например на
  количество серы в нефтетопливе) и на режим работы предприятия и
  оборудования (например на качество сточной воды) что можно
  выразить как дополнительные затраты.
    Рассмотрим ситуацию, когда сме7843$u

шиваются несколько различных потоков,
  чтобы образовать конечнылй продукт. Если какое-то свойство i-ой
  компоненты смеси характеризуется коэффициентом Pi, а Pb определяет
  нижнюю допустимую границу указанного свойства смеси, то ограничение
  можно записать в виде:  P1X1 + ... + PiXi => PbXb
  где в левой части производится суммирование по всем смешиваемым
  потокам, а Xb представляет общее количество произведенной смеси.
  Ограничения на качество продуктов лучше всего задавать с помощью
  таблиц.

                     ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

  Целевая функция модели обычно состоит из следующих компонент:
  1) Стоимость произведенного продукта.
  2) Капиталовложения в здания и оборудование.
  3) Стоимость ресурсов.
  4) Эксплуатационные затраты и затраты на ремонт оборудования.
       1) Стоимость произведенного продукта.
  Если система моделируется с точки зрения прибыли, то стоимость
  продукта измеряется в деньгах. Если целью системы является
  максимизация общественной полезности, то выход системы описывается в
  терминах полезности, причем различия в определении этой полезности
  могут привести к разным ответам. Так при планировании медицинского
  обслуживания вряд ли окажется полезным для общества, если в качестве
  цели выбирается максимальное число пациентов, обслуживаемых в
  единицу времени.
  В простейшем случае целевую функцию можно сформулировать так:
  если мы обозначим через Xi количество продукта, а через Ci
  стоимость единицы этого продукта, то мы получим член целевой
  функции CiXi. Но целевая функция может быть описана и более сложным
  образом.  Например стоимость может зависеть от количества проданного

  продукта, эта зависимость изображена на графике:
   P, долл/т
       і
   5.50 ГДДДї
   5.20 і   ГДДДї
   5.00 і   і   ГДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДД
        і   і   і
        АДДДБДДДБДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДД>Q, тыс.т/день


                 2) Капиталовложения в здания и оборудование.
     Если рассматривается статическая модель на определенный момент
  времени, то все затраты должны быть отнесены к какому-то периоду
  времени, например рабочему дню (или году). Единовременные
  капиталовложения выражаются через ежедневные (годовые) затраты.
  Это осуществляется умножением капиталовложений на норму амортизации
  (коэффициент восстановления капитала - CRF). Чтобы перейти от
  годовых затрат к ежедневным, CRF обычно просто делят на 365 или если
  заводд работает не целый год (например проводятся регулярные
  плановые ремонтные работы) на число рабочих дней в году, чобы
  получить затраты отнесеные к рабочему дню. Данные затраты чаще
  запоминаются как константа и прибавляются к значению целевой
  функции после получения решения.

                 3) Стоимость ресурсов.
  Способ определения стоимости ресурсов совпадает с определением
  стоимости произведенного продукта (п.1): если Xi -количество
  используемого ресурса, а Ci - стоимость единицы этого ресурса, то мы
  получим член целевой функции, равный - CiXi. Здесь мы снова можем
  учесть в модели зависимость стоимости ресурса от его количества, как
  например на графике:
   Стоимость
        і
    С3  і       ЪДДДДДДДї
    С2  і   ЪДДДґ       і
    С1  ГДДДґ   і       і
        і   і   і       і
        АДДДБДДДБДДДДДДДБДДДДДДДДДДДДДДДДДДД>Количество
          X1  X2   X3

      4)Эксплуатационные затраты и затраты на ремонт оборудования.
  Эти затраты обычно являются функцией размеров зданий и оборудования,
  поэтому их можно включить в амортизационные капитальные затраты.
  Сюда необходимо включить также : трудовые затраты, затраты на
  энергоресурсы для производственных нужд (пар, электричество, вода,
   сжатый воздух и.т.д.), арендную плату за разработку недр, затраты на
  катализаторы и другие технологические потребности.

                           ПРИМЕР

  Мы хотим исследовать  различные варианты расширения существующих
  блоков и создания новых блоков для максимизации чистого дохода.
  Нам необходимо:
  1) Ввести в ЛП-матрицу ограничения на мощность для кажудого блока.
  2) Максимизировать прибыль при фиксированных мощностях.
  3





де впоследовательности столбцов. При этом удобнее
  объединять в одну группу столбцы соответствующие одному блоку
  предприятия с испоользованием табличной формы записи данных:
  таблицы данных составляются для каждого блока предприятия и для
  каждого набора специальных ограничений на продукт. Поскольку каждой
  строке и каждому столбцу приписывается свое имя, всю матрицу
  ограничений можно построить , составив список имен всех таблиц, затем
  списки имен столбцов каждой таблицы, а затем перечислив все
  ненулевые элементы каждого такого столбца.
    Уравнения из нашего примера поясняют как составляются таблицы. С
  помощью этих уравнений детально описаны сырьевые потоки, входящие в
  блок газового насыщения, и потоки продуктов, выходящие из него.
  Входам сырьевых потоков BOLNP и COLNP отвечают два столбца LNB и LNC
  на это указывают коэффициенты +1.0 в соответствующих этим потокам
  баласовых строках, отрицательные коэффициенты в балансовых строках
  потока продкта представляют выход этого продукта на единицу сырья,
  поступающего в блок. Можно составить таблицу, описывающую весь блок
  газового насыщеия, добавив столбцы, которые представляют входы в
  этот блок  сырьевых потоков 90BBG, 9BBG, HYDBBG.

     При составлении таблиц, описывающих блоки предприятия, мы будем
  руководствоваться следующими правилами:
     1) Определить столбец j для каждого сырьевого потока, входящего в
  блок (тогда Xj - количество j-го сырья). Выполнить шаги 2 - 6 для
  каждого такого столбца.
     2) Записать коэффициент равный +1.0 в балансовую строку,
  отвечающую входящему сырьевому потоку.
     3) Для каждого продукта, произведенного в блоке из этого

  сырьевого потока, записать коэффициент -Aij в соответствующую
  балансовую строку потока продукта, где Aij - количество продукта i,
  полученного из единицы сырья j.
     4) Если для блока существует ограничение по мощности определяемое
  количеством сырья, записать коэффициент +1.0 в строку ограничения по
  мощности. Компонента вектора ограничений, соответствующая этой
  строке, равна предельному значению суммарного сырьевого па.
     5) В каждую строку, представляющую ограничение на ресурс,
  записать коэффициент +Aij, где  Aij - потребление ресурса i на
  единицу сырья j, (например потребности в энергоресурсах для нашей
  задачи).
     6) Каждой единице сырья j приписать коэффициент затрат Cj в
  строке целевой функции.

     Мы можем составить подобные таблицы и для конечных продуктов,
  действительно, мы могли бы представить процесс производства или
  смешивания конечного продукта в виде отдельного блока, в который
  входит несколько сырьевых потоков, а выходит только один поток
  (сам конечный продукт). Кроме балансовых соотношений здесь могут
  появиться строки ограничений специального типа.
     При составлении таблиц, описывающих смешивание потоков для
  получения конечного продукта правила будут следующие:
     1) Определить столбец j для каждого сырьевого потока,
  поступающего в смеситель (Xj - количество j-го сырья).
  Выполнить шаги 2 - 6 для каждого такого столбца.
    2) Записать коэффициент равный +1.0 в балансовую строку,
  отвечающую входящему сырьевому потоку.
    3) Записать соответствующий коэффициент -1.0 в балансовую строку
  для конечного продукта (например EVOLPROD).
    4) Для каждого ограничения снизу на какое-то свойство смеси
  записать коэффициент -Pi в строку, соответствующую этому
  ограничению.
    5) В строку, соответствующую ограничению сверху на какое-то
  свойство смеси записать коэффициент +Pi.
    6) Выполнив шаги 2 - 5 для всех сырьевых потоков j, определить
  столбец для конечного продукта (смеси), (например B, тогда Xb -
  количество конечного продукта). В этот столбец записать следующие
  коэффициенты:
  а) в балансовую строку (EVOLPROD) этого конечного продукта записать
  +1.0,
  б) в строку, отвечающую ограничению снизу на какое-то свойство
  конечного продукта, записать коэффициент равный +Pb,
  в) в строку, отвечающую ограничению сверху на какое-то свойство
  конечного продукта, записать коэффициент -Pb,
  г) если есть ограничения на потребление конечного продукта, записать
  +1.0 в соответствующую строку, отвечающую этому ограничению (либо
  учесть его просто как ограничение на переменную Xb),
  д) ввести в строку целевой функции коэффициент стоимости конечного
  продукта Cb.

                              Лекция

          Классификация экономико-математических моделей

  Важным этапом изучения явлений предметов процессов является их
классификация, выступающая как система соподчиненных классов объектов,
используемая как средство для установления связей между этими классами
объектов. Основой классификации являются существенные признаки
объектов. Поскольку признаков может быть очень много то и выполненные
классификации могут значительно отличаться друг от друга.
Любая классификация должна преследовать достижение поставленных целей.
вы7843$u

бор цели классификации определяет набор тех признаков, по которым
будут классифицироваться объекты, подлежащие систематизации. Цель
нашей классификации - показать, что задачи оптимизации, совершенно
различные по своему содержанию, можно решить на ЭВМ с помощью
нескольких типов существующего программного обеспечения.

  Классификацию задач оптимизации, возникающих на производстве,
выполним по следующим признакам:
1. Область применения
2. Содержание задачи
3. Класс математической модели
--------------------------------------------------------------------------
1. Обеспечение производства включает в себя :
1.1 Организацию и управление
1.2 Проектирование изделий
1.3 Разработку технологических процессов

Во всех этих элементах производства возникают задачи оптимизации.
Так весьма широкий круг самых различных работ можно рассматривать как
превращение ресурсов в результат. В связи с этим основные задачи,
возникающие при управлении, могут быть отнесены к классу задач
распределения ресурсов.

  Объект проектирования 





ей дает менеджерам метод, повышающий эффективность
их суждений и интуиции.  Для достижения цели практически всегда
существует несколько вариантов из которых нужно выбрать оптимальный.
Для определения лучшего варианта пользуются критерием эффективности
или целевой функцией.

                      РУКОВОДСТВО ПРЕДПРИЯТИЕМ

Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы,
оборудование, энергия, рабочая сила и другие ресурсы. Каждое
предприятие такими ресурсами располагает, но общие запасы ресурсов
ограничены. Поэтому возникает важная задача: выбор оптимального
варианта, обеспечивающего достижение цели  с минимальными затратами
ресурсов. Таким образом эффективное руководство производством
подразумевает такую организацию процесса, при которой не только
достигается цель, но и получается экстремальное (MIN,MAX) значение
некоторого критерия эффективности:
К = F(X1,X2,...,Xn) => MIN(MAX)
Функция К является математическим выражением результата действия,
направленного на достижение поставленной цели, и поэтому ее называют
целевой функцией.
  Функционирование сложной производственной системы всегда
определяется большим числом параметров. Для получения оптимального
решения часть этих параметров нужно обратить в максимум, а другие в
минимум. Возникает вопрос: существует ли вообще такое решение, которое
наилучшим образом удовлетворяет всем требованиям сразу ? Можно
уверенно ответить - нет. На практике решение, при котором какой-либо
показатель имеет максимум, как правило, не обращает другие показатели
ни в максимум ни в минимум.
Поэтому выражения типа: производить продукцию наивысшего качества с
наименьшими затратами - это просто торжественная фраза по сути
неверная.
Правильно было бы сказать: получить продукцию наивысшего качества при
той же стоимости, или снизить затраты на производство продукции не
снижая ее качества, хотя такие выражения звучат менее красиво, но зато
они четко определяют цели.
Выбор цели и формулирование критерия ее достижения, то есть целевой
функции, представляют собой труднейшую проблему измерения и сравнения
мноазнородных переменных, некоторые из которых в принципе
несоизмеримы друг с другом: например безопасность и стоимость, или
качество и простота.
Но именно такие социальные, этические и психологические понятия часто
выступают как факторы мотивации при определении цели и критерия
оптимальности. В реальных задачах управления производством нужно
учитывать то, что некоторые критерии имеют большую важность чем
другие. Такие критерии можно ранжировать, то есть устанавливать их
относительную значимость и приоритет. В подобных условиях оптимальным
приходится считать такое решение, при котором критерии имеющие
наибольший приоритет получают максимальные  значения. Предельным
случаем такого подхода является принцип выделения главного критерия.
При этом один какой-то критерий принимается в качестве основного,
например прочность стали, калорийность продукта и.т.д. По этому
критерию производится оптимизация, к остальным предъявляется только
одно условие, чтобы они были не меньше каких-то заданных значений.
Между ранжированными параметрами нельзя проводить обычные
арифметические операции, возможно лишь установление их иерархии
ценностей и шкалы приоритетов, что является существенным отличием от
моделирования в естественных науках.

  При проектировании сложных техических систем, при управлении крупным
производством или руководстве военными действиями, то есть в ситуациях
где необ





ставления реального объекта, который
позволяет легко и с малыми затратами ресурсов исследовать некоторые
его свойства. Только модель позволяет исследовать не все свойства
сразу, а лишь те из них, которые наиболее существенны при данном
рассмотрении. Поэтому модели поволяют сформировать упрощенное
представление о системе и получить нужные результаты проще и быстрее
чем при изучении самой системы. Модель производственной системы в
первую очередь создается в сознании работника осуществляющего
управление. На этой модели он мысленно пытается представить все
особенности самой системы и детали ее поведения, предвидеть все
трудности и предусмотреть все критические ситуации, которые могут
возникуть в различных режимах эксплуатации. Он делает логические
заключения, выполняет чертежи планы и расчеты.
  Сложность современных технических систем и производственных
процессов приводит к тому, что для их изучения приходится использовать
различные виды моделей.


   Простейшими являются масштабные модели в которых соблюдается





т не только от стратегии избраной
руководителем, но и от ряда факторов, не известных в момент принятия
решения, например, действий кокурентов, такая задача называется
принятием решений в условиях неопределенности.
  Операцией называется комплекс мероприятий объединенных общим
замыслом и направленых на достижение поставленной цели. Операция
является управляемым мероприятием.
  В общем случае цель операции выражается в стремлении к достижению
экстремального значения критерия эффективности. При наличии
еопределенности это уже не строго математическая задача, которая дает
однозначное решение. Теперь она должна формулироваться следующим
образом:
  При заданных ограничениях B1...Вn найти такие элементы управления
X1...Xm которые с учетом случайных воздействий Q1...Qr по возможности
обеспечивают максимальное значение критерия эффективности К max(min).
Теперь нет уверенности в том, что можно будет получить решение, а если
оно будет получено то нет гарантии в том, что оно будет правильным.
Именно поэтому в формулировке задачи приходится делать оговорку "по
возможности". Таким образом при решении проблем возникющих в реальной
жизни математическая теория и научно обоснованные методы не дают
точного решения. Причина этого в том, что когда нет точных данных, то
есть нет полной информации остается лишь предполагать и строить
догадки но нельзя считать что все предсказания сбудутся. И все таки
решение, принято





ось равенством а относительная
   оценка даст соответствующее приращение целевой функции.
   Таким образом относительная оценка i-ой дополнительной переменной
   дает величину прироста целевой функции на единицу увеличения
   элемента Bi вектора ограничений. Так как элемент Bi обычно
   представляет собой объем i-го ресурса то относительная оценка
   равная Yi называется оценкой ресурса (оценкой единицы i-го ресурса)
   ибо она представляет относительную ценность единицы дополнительного
   ресурса. Эти относительые оценки являются маргинальными оценками в
   том смысле что они действительны лишь при таком диапазоне изменения
   ресурсов Bi когда текущий базис остается оптимальным.
в) Если дополнительная переменная является базисной в точке оптимума
   то ее относительная оценка по определению равна нулю. Это также
   имеет смысл так как если ресурс использован не полностью
         _
   E Aij*Xj  < Bi  то цена которую мы должны были бы заплатить за
  дополнительную единицу этого ресурса равна нулю. Это приводит к
  условию дополняющей нежесткости:
  В оптимальном решении_             _
            или  E Aij*Xj = Bi  или  Yi = 0 (либо и то и другое)
                       _             _
            или  E Aij*Yi = Cj  или  Xj = 0 (либо и то и другое)
  Заметим что переменные Y недопустимы на протяжении всех итераций
  симплекс-метода до тех пор пока не будет достигнуто оптимальное
  решение.

                         МиАРГИНАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
  Оценки ресурсов связаны скорее с ограничениями а не с переменными.
  Однако они часто используются для вычисления оценочных или
  стоимостных показателей, связанных с переменными прямой задачи.
  Рассмотрим пример. Пусть в задаче связанной с суточной переработкой
  нефти некоторая переменная Xj соответствует объему неочищенной нефт





 на
  практике обычно берутся приближенные значения, которым должны быть
  равны эти параметры. Таким образом нас интересуют такие диапазоны
  изменения этих параметров, в которых оптимальное решение остается
  оптимальным в том смысле, что не меняется базис.
  Исследуем три класса параметров:
  коэффициенты целевой функции Cj
  компоненты вектора ограничений Bi
  коэффициенты матрицы Aij

                Изменения коэффициентов целевой функции
              ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

    а) Небазисная переменая
  -----------------------
  Изменение коэффициента целевой функции небазисной переменной влияет
  на относительную оценку только этой переменной. Пусть коэффициент
  целевой функции изменится на величину  q  тогда
  _                   _
  Cj = Cj + q  отсюда Dj = Dj - q

  Например пусть матрицей А задан производственный процесс и пусть
  переменная Xj  представляет количество некоторого производимого
  продукта, который может быть продан по цене Cj = 20 долл/ед
  В оптимальном решении эта переменная небазисная (=0) и ее
  относительная оценка = 1.40 долл/ед  Таким образом если цен
  возрастет до 21.40 долл/ед продукта то относительная оценка станет

  = 0 и дальнейшее увеличение цены приведет к отрицательной
  относительной оценке. Это означает что текущее решение перестает
  быть оптимальным. В таком случае выгодно производить продукт
  представленный переменной Xj  Следовательно 21.40 долл/ед продукта
  это равновесная цена для Xj , при любой более низкой цене
  оптимальное решение будет состоять в том чтобы совсем не производить
  этот продукт ( Xj остается небазисным) а при более высокой цене
  выгодно ввести Xj  в базис. Для небазисной переменной диапазон
  устойчивости в котором Cj может меняться так чтобы текущее решение
  оставалось оптимальным задается выражением _
        _              Cj + q, где -оо < q <= Dj
  и где Dj - относительная оценка переменной Xj отвечающая
  оптимальному решению. Заметим что при любом отрицательном q
  относительная оценка этой переменной останется положительной.
  Многие ППП ЛП дают информацию и о диапазоне изменения переменной Xj
  (от нулевого до некоторого предельного_значения) при котором не
  происходит смены базиса.     Если q = Dj то относительная оценка = 0
  что означает что Xj можно увеличивать не меняя значения целевой
  функции. Предельное значение до которого можно увеличивать Xj
  определяется формулой MIN (B/Aj)i
  Например предположим что в оптимальном решении вектор базисных
  переменных,                  -1                -1
  текущий вектор ограничений B=B * b и вектор Aj=B *aj заданы в виде:

       X5          3.2         0.6
  Xb = X1      B = 1.5    Aj = 0.3
       X6          5.6        -1.2

  Тогда получаем MIN (Bi/Aij) = 1.5/0.3 = 5.0
  Таким образом мы можем сделать вывод о том что при цене в 21.40
  долл/ед продукта или более становится выгодным производить продукт
  Xj то есть продукт которому отвечает переменная Xj ; на каждую
  единицу произведенного продукта Xj переменные X5 X1 X6 уменьшаются
  соответственно на 0.6  0.3  -1.2 единиц. Если мы произведем 5.0 ед
  продукта Xj то переменная X1 обратится в нуль и дальнейшее
  увеличение Xj потребует смены базиса. Заметим, что мы получили всю
  информацию не решая задачу заново, для продолжения анализа нам
  потребуется лишь выполнить операцию исключения соответствующую
  изменению базиса.

  б) Базисная переменная
     -------------------
  Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной влияет на
  относительные оценки небазисных переменных  Рассмотрим увеличение
  коэффициента целевой функции i-ой баисной переменной. В этом случае
  вектор коэффициентов целевой функции изменится следующим образом
    _
    Cb = Cb + q*Ei,  где Ei - вектор специального вида i-ая компонента
    которого = 1 а остальные нулю. Например
           0
      E3 = 0
           1
           0
   Относительная оценка j-ой небазисной переменной станет теперь
   равной  _
           Dj = Dj + q*Aij
   Для того чтобы решение оставалось оптимальным должно выполняться
   условие _
           Dj => 0 то есть Dj^ + q*Aij => 0, где Dj^ - относительная
   оценка соответствующая текущему оптимальному решению.
   Для базисной переменной диапазон устойчивости в котором может
   изменяться Ci оставляя оптимальным текущее решение адается
   выражением Ci + q, где

     MAX   {Dj^/-Aij} <= q <= MIN   {Dj^/-Aij}
   i/Aij>0                  i/Aij<0

   Если отсутствуют коэффициенты Aij < 0  то q < +oo
   и аналогично если нет Aij > 0 то q > -oo
   Например пусть оптимальное решение задано следующим образом:
   Максимизировать  Р= 31.5 -3.5X4 -0.1X3 -0.25X5

   При условиях    X1 = 3.2 -1.0X4 -0.5X3 -0.60X5
                   X2 = 1.5 +0.5X4 +1.0X3 -1.00X5
                   X6 = 5.6 -2.0X4 -0.5X3 -1.00X5

   Если коэффициент целевой функции переменной X2 станет равным С2 + q
   то относите7843$u

льные оценки небазисных переменных изменятся следующим
   образом:

               _
             _ D4 = 3.5 + q*(-0.5)
           _ D3 = 0.1 + q*(-1.0)
           D5 = 0.25 + q*(+1.0)
   Заметим что величины Aij имеют знаки противоположные тем, что
   приведены выше.
   Диапазон значений для q вычисляется в соответствии с формулой:
   (0.25/-1.0) <= q <= MIN (3.5/0.5 , 0.1/1)
        -0.25  <= q <= 0.1
   Если q принимает значение равное одной из двух границ то
   относительная оценка некоторой небазисной переменной становится
   равной нулю Предельное значение до которого можно увеличивать такую
   переменную вычисляется как и в предыдуащем примере с небазисными
   переменными
   Так в нашем примере  при q = 0.1 относительная оценка переменной X3
   равна нулю так что если коэффициент целевой функции переменной X2
   увеличится на 0.1 или более станет выгодно производить X3 и мы
   сможем производить MIN {3.2/0.5 , 5.6/0.5} = 6.4 единиц X3 когда X1
   обратится в нуль и потребуется изменение базиса.

    





мы имеем Xb = B - As*(-q)
   где As - столбец конечной таблицы соответствующий Xs.
   Так как Xs должен оставаться неотрицательным то мы получаем
   соотношение: B - As*(-q) => 0
   которое определяет диапазон изменения q:
     MAX   {Bi/-Ais} <= q <= MIN   {Bi/-Ais}
   i/Ais>0                  i/Ais<0
   Если нет ни одного Ais > 0  то q > -oo,
   а если нет ни одного Ais < 0 то q < +oo
   Для ограничений типа => q меняет знак, так как вместо неравенства
   E AijXj => Bi   мы можем рассматривать
   -E AijXj <= -Bi
   Поэтому в уравнении 1.1) вместо +(Xs-q) мы должны писать -(Xs+q).
   Снова рассмотрим пример:
   Максимизировать  Р= 31.5 -3.5X4 -0.1X3 -0.25X

   При условиях    X1 = 3.2 -1.0X4 -0.5X3 -0.60X5
                   X2 = 1.5 +0.5X4 +1.0X3 -1.00X5
                   X6 = 5.6 -2.0X4 -0.5X3 -1.00X5

   Пусть X4 - дополнительная переменная некоторого ограничения i
   (типа <=). Если компонену Bi изменить на величину q, мы получим:
       X1 = 3.2 - 1.0*(-q)
       X2 = 1.5 + 0.5*(-q)
       X6 = 5.6 - 2.0*(-q)
                    3.2          1.0
       то есть  B = 1.5    As = -0.5
                    5.6          2.0
       Тогда,
          X1 => 0 при 3.2 - 1.0*(-q) => 0, то есть q => 3.2/-1.0,
          X2 => 0 при 1.5 + 0.5*(-q) => 0, то еасть q <= 1.5/0.5,
          X6 => 0 при 5.6 - 2.0*(-q) => 0, то есть q => 5.6/-2.0
   Значит q может меняться в диапазоне:
     MAX {3.2/-1.0; 5.6/-2.0} <= q <= 1.5/0.5,
     то есть -2.8 <= q <= 3.0

                     ВЫРОЖДЕННОСТЬ
                   +++++++++++++++++
     1. Вырожденность прямой задачи
        ----------------------------
     Вырожденное решение прямой задачи характеризуется тем, что его
     базисная компонента равна нулю. Вырожденность прямой задачи может
     часто проявляться через промежуточные (неоптимальные) вырожденые
    базисные решения. Так например не произойдет улучшения целевой
     функции от введения в базис переменной, для которой положительна
     соответствующая компонента вектор а Aq.
     Возможен случай, когда прямая задача ЛП имеет вырожденое
     промежуточное но невырожденное оптимальое решение. Если
     оптимально решение прямой задачи вырождено, то двойственная
     задача имеет бесконечно много оптимальных решеий.

      2. Вырожденность двойственой задачи
        ---------------------------------
     С вырожденностью двойственной задачи мы сталкиваемся, когда
     относительная оценка, отвечающая небазисной переменной, равна
     нулю.
     Это означает, что небазисная переменная может увеличиваться, не
     меняя при этом значения целевой функции. Если такая нулевая
     относительная оценка соответствует оптимальному решению, то

     имеется множество оптимальных решений так как Р не меняется).
     Заметим, что мы получили вырожденное решение двойственной задачи,
     отвечающее границе диапазоа устойчивости коэффициента целевой
     функции, а также вырожденное решение прямой задачи соответствующее
     границе диапазона устойчивости компоненты вектора ограничений.


                           ЛЕКЦИЯ

    Как пример источника ценной информации, получаемой при
  постоптимальном анализе, рассмотрим следующую производственную
  задачу. Предприятие по переработке руды производит два сорта
  очищенной продукции, которая продается предприятиям
  металлургической промышленности. Схема работы предприятия
  выглядит следующим образом.

       ЪДДДДДДДДДї    ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДВДДДДДДДДДДДДДДДДї
  ЪДДДДБДДДДї    і    і                    і                і
  і Руда    і ЪДДБДДДДБДДДДДї       ЪДДДДДДБДДДДї     ЪДДДДДБДДДДДДДї
  і вида "А"і і  Основной   і       і Конвертер ГДДДДДґ Продукт 2   і
  АДДДДДДДДДЩ і   процесс   і       АДДДДДДДДДВДЩ     АДДДДДДДДДДДДДЩ
  ЪДДДДДДДДДї і переработки і   ЪДДДДДДДДДї   і
  і Руда    і АДДВДДДДВДДДДДЩ   і Очистка і   і       ЪДДДДДДДДДДДДДї
  і вида "В"і    і    і        АДДДВДДВДДЩ   АДДДДДДДґ Продукт 1   і
  АДДДДВДДДДЩ    і    АДДДДДДДДДДДДДЩ  і              АДДДДДДВДДДДДДЩ
       АДДДДДДДДДЩ                     АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДЩ

    Перерабатываются два вида руды: А и В. Заводу может быть
  поставлено до 100 тыс.т в день руды вида А по цене 3.25 долл/т и
  д 30 тыс.т в день руды вида В более высокого качества по цене
  3.40 долл/т. Общая мощность основного процесса переработки равна
  100 тыс.т руды в день при затратах на переработку 0.35 долл./т.
    Основной процесс переработки позволяет получить из каждой тонны
  руды вида А 0.15 т продукта 1 и 0.85 т продукта 2, а из каждой тонны
  руды вида В 0.25 т продукта 1 и 0.75 т продукта 2.
    Продукт 1 более ценный, и агрегат, называемый конвертером,
  способен из каждой тонны продукта 2 получить 0.5 т продукта 1 и
  0.5 т продукта, который может быть продан как продукт 2, но который
  нельзя повторно перерабатывать конвертером.  Мощность конвертера
  50 тыс.т сырья в день при затратах на конвертерную обработку 0.25
 7843$u

 долл/т сырья.Условия реализации  следующие. Продукт 2 может быть
  продан в неограниченном количестве по цене 3.8 долл/т, продукт 1
  продается по цене 5.5 долл/т и его можно продать по этой цене до 45
  тыс.т/день. Существующий контракт требует, чтобы 





   покупать меньше 30 тыс.т/день. Мы можем рассуждать иначе, а именно,
   что мы могли бы вести переговоры о дополнительной закупке руды вида
   В сверх 30 т/день (но не более чем на 20 тыс.т/день) по цене до
   3.40 + 0.01 = 3.41 долл/т.

              Изменения коэффициентов целевой функции
              ---------------------------------------
                  1. ( Небазисные переменные )

  X4: относительная оценка = 0.2
  Естли продукт 2 можно покупать по 4.00 - 0.2 = .80 долл/т или
  дешевле, то это выгодно делать и мы можем покупать неограниченное
  количество этого продукта.

  X6: относительная оценка = 0.3
  Если цена продукта 1 хранимого на складе увеличится до 5.20 + 0.30 =
  5.50 долл/т или более то выгодно хранить запас, увеличивая его до
  MIN {3/1, 4/1} = 3 тыс.т/день ( до того как произойдет смена
  базиса).

  X7: относительная оценка = 0.5
  Если пониженная цена продукта 1 возрастет до 5.00 + 0.5 = 5.50
  долл/т или более, его выгодно продавать на таком рынке, причем
  ежеднневно можно продавать до 3 тыс.т, прежде чем изменится базис.

  X3: относительная оценка = 0.25
  Если продукт 1 можно купить по цене 5.75 - 0.25 = 5.50 долл/т или
  дешевле, выгодно сделать это, причем можно покупать до 2 тыс.т/день
  прежде чем изменится базис.

                        2. ( Базисные переменные )
  X2: коэффициент целевой функции = -3.40
  Коэффициент целевой функции может меняться в диапазоне С2 + q, гдед
  0.01/-1 <= q <= оо
  Если цена руды вида В станет равной 3.41 долл/т или более ( С2 =
  -3.40 - 0.01 ) то выгодно увеличить X8, т.е. уменьшить количество
  покупаемой руды вида В; диапазон изменения X8 задается соотношениями
  MAX {2/-0.1; 70/-1; 32/-0.1} <= X8 <= MIN {3/0.1; 30/1}
  Обычно нас интересуют только положительные пределы. В нашем примере
  X8 может меняться до 30 тыс.т/день, прежде чем потребуется изменить
  базис ( X2 оратится в нуль ). Исследование полученных результатов
  показывает, что вычисление пределов осуществляется аналогично
  вычислению маргинальных оценок, выполненномоу ранее.
  Это указывает нам путь вычисления маргинальных оценок для
  переменных, которые не равны значению своей верхней границы
  ( как мы увидим для руды вида А ( X1 ) )

  X1: коэффициент целевой функции = - 3.25
  Коэффициент целевой функции может меняться в диапазоне С1 + q, где
  - 0.44 <= q <= 0.01
  Если цена руды вида А уменьшится до 3.24 долл/т или еще меньше ( С1
   = -3.25 + 0.01 ), то станет выгодно увеличить X8 ( т.е. заменить
  руду вида В рудой вида А ) до X8 = 30, что соответствует X1 = 100,
  X2 = 0. Таким образом маргинальная оценка руды вида А в диапазоне
  50-70 тыс.т/день равна 0.44 долл/т.

  Заметим, что скачок маргинальной оценки, отвечающей базисной
  переменной, происходит при значении, которое эта переменнаяi
  принимает в оптимальном решении ( в нашем примере при X1 = 70 )
  Маргинальные оценки интерпретируются несколько иначе, чем изменения
  цен, требующиеся для того, чтобы изменить оперативный план. Если
  руда вида А может быть закуплена дешевле на 0.01 долл/т, то от
  замены такой рудой руды вида В целевая функция не изменится; если
  цена руды вида А возрастет на 0.44 долл/т, то уменьшение ее закупки
  на величину, не превосходящую 20 тыс.т/день, также не изменит
  значения целевой функции.

                 Изменения компонент вектора ограничений
                 ---------------------------------------
               1. ( Базисная дополнительная переменная )
  Величина изменения может быть вычислена непосредственно:
  X9 = 2 и X10 = 3 указывают, что количество продукта 1, которое можно
  продавать по обычной цене равно 43 ( меньше верхней границы на 2 и
  больше нижней границы на 3 ).
  Значение X11 показывает, что верхний предел запаса продукта 1 может
  быть уменьшен на 4.

              2. ( Небазисная дополнительная переменная )
  Диапазоны изменения компнент вектор ограничений уже рассматривались
  выше при обсуждении оценок ресурсов, маргинальных оценок и изменений
  коэффициентов вектора целевой функции. Однако нам может понадобиться
  исследовать отдельно влияние изменения имеющихся ресурсов
  безотносительно к изменению цен. Поэтому мы кратко просуммируем
  результаты изменения только компонент вектора ограничений и укажем
  диапазоны, внутри которых текущее решение останется оптимальным.

  X12: Мощность основного процесса обработки может меняться в
  диапаз





устимыми.


                   Задача к семинарскому занятию
                  ===============================

  Предприятие может перерабатывать двавида руды: руда вида А может
  быть поставлена в объеме 50 тыс.т/день по цене 2.80 долл/т,
  руда вида Б может быть поставлена в объеме 75 тыс.т/день по цене
  2.50 долл/т.
  Оба вида руды проходят через блок основной переработки. На заводе
  есть еще три блока, ксплуатационные затраты и предельные мощности
  которых задаются следующей таблицей:
  -------------------------------------------------------------------
       Блоки              Эксплуатационные        Предельные мощности
                            затраты ($/т)          тыс.т/день
  -------------------------------------------------------------------
  Блок основной переработки          0.20             100
  Обогащение                         0.15              25
  Измельчение                        0.10              40
  Очистка                            0.15              40
  --------------------------------------------------------------------

                     Данные о продаже:
  --------------------------------------------------------------------
      Продукт          Доход (долл/т)       Потребление (МАХ)
  --------------------------------------------------------------------
       1                 6.00              Не ограничео
       2                 5.00              60 тыс.т/день
       3                 4.00              Не ограничено
  --------------------------------------------------------------------

                    Выход продуктов ( в т/т сырья )
  ---------------------------        ---------------------------------
  Процесс основной обработки                   Обогащение
  ---------------------------        ---------------------------------
           Руда А   Руда Б                    proc1  proc2   gr1
  proc1     0.15     0.12             tret1    0.15   0.20   0.18
  proc2     0.10     0.10             tret2    0.35   0.38   0.40
  proc3     0.20     0.15             tret3    0.50   0.42   0.42
  proc4     0.23     0.25             ---------------------------------
  proc5     0.32     0.33
  ---------------------------

  ---------------------------         -------------------------------
        Измельчение                               Очистка
  ---------------------------         -------------------------------
           proc4    proc5                        proc3     gr2
  gr1       0.15     0.10             





ополнительных устройств.
  Cистемный блок IBM PC состоит из следующих основных компонентов:
  --------------
  1. Центральный процессор представляющий собой микросхему, и
   включающий в себя:

     А) Устройство управления, интерпретирующее команды компьютера и
  инициирующее сигналы, которые заставляют схемы компьютера выполнять
  определенные действия;
     Б) Арифметико-логическое устройство выполняющее все вычисления.
  Центральный процессор определяет быстродействие компьютера. Модель
  IBM PC/AT использует микропроцессор Intel-80286 и математический
  сопроцессор Intel-80287 обеспечивающие достаточно высокую
  производительность и быстродействие.

  2. Блок памяти, котоый используется для хранения программ, данных
  и результатов. Этот блок включает в себя два типа памяти:
     А) Оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) - Оперативная память
  в которой располагаются программы, выполняемые компьтером и данные
  используемые программами. Емкость оперативной памяти обычно равна
  640 Кбайт(байт-единица информации). Из ОЗУ можно считывать и в
  него записывать информацию. При выключении питан





клавиши, некоторые из
  них используютсям также для управления курсором - (клавиши со
  стрелками, клавиши Home, End, Page Up, Page Down). Для удобства
  пользователя часть этих клавиш продублирована.
  В верхнем ряду расположены 12 программируемых функциональных клавиш.
  Функции этих клавиш программируются разработчиком математического
  обеспечения. Обычно их действие указывается в нижней части экрана.

  На клавиатуре есть еще ряд специальных клавиш : Enter, Control,
  Altenate, Tab, Insert, Delete и другие. Некоторые из этих клавиш
  можно нажимать одновременно, чтобы выполнять специальные функции.
  Например нажимая клавиши CTRL, ALT и DEL можно перезагрузить систему
  (так называемая "теплая перезагрузка DOS"). Нажатие на любую клавишу
  в течеие полусекунды приведет к автоматическому повторению символа.
  В отличие от клавиатур других компьютеров клавиатура IBM PC содержит
  электронные схемы, расширяющие возможности клавиш и позволяющие
  переопределять их.

  Дисплей и принтер - эти устройства делают компьютер законченной
  системой.
  Дисплеи(мониторы) бывают цветными и монохромными. Они могут работать
  в одном из двух режимов: текстовом или графическом.
  В текстовом режиме экран монитора условно разбивается на отдельные
  участки - знакоместа, чаще всего на 25 строк по 80 символов.
  В каждое знакоместо может быть выведен один из символов.
  Графический режим предназначе для вывода на  экран рисунков,
  графиков и.т.д. В этом режиме можно выводить и текстовую информацию
  причем буквы и цифры могут быть произвольного размера. В графическом
  режимет экран монитора состоит из точек. Количество точек по
  горизонтали и вертикали называется разрешающей способностью монитора
  в данном режиме. Например разрешающая способность 640*350 означает,
  что в данном режиме монитор выводит 640 точек по горизонтали и 350
  по вертикали.  Наиболее широкое распространение в компьютере IBM PC
  получили цветные мониторы EGA и VGA. В текстовом режиме они работают
  примерно одинаково, а в графическом VGA обеспечивает более высокую
  разрешающую способность, то есть выводит большее количество точек на
  экран, что повышает качество изображения и снижает утомление глаз.

  Принтер преедназначен для вывода информации на бумагу. Все принтеры
  могут выводить текстовую информацию, а многие также рисунки и
  графики. С IBM PC совместим ряд принтеров. Фирма IBM рекомендует и
  продает графическое матричное печатающее устройство производимое
  фирмой EPSON. Принцип работы матричных притеров таков: печатающая
  головк принтера содержит вертикальный ряд тонких металлических
  стержней (иголок). Головка движется вдоль печатаемой строки, а
  иголки в нужный момент ударяют по бумаге через красящую ленту.
  Скорость печати матричных принтеров в зависимости от требуемого
  качества печати от 10 до 60 секуд на страницу.
  Существуют и другие виды принтеров: струйные, литерные, лазерные
  и.т.д. но они как правило более дорогие и не всегда совместимы с
  имеющимися программами.

  К компьютеру IBM PC могут подключаться и другие устройства:
  Мышь - манипулятор для ввода информации в компьютер. Свое название
  это устройство получило за свой внешний вид: небольшая икоробочка
  обычно серого цвета с двумя или тремя клавишами, легко умещающаяся в
  ладони. Вместе с проводом для подключения к компьютеру действительно
  сильно напоминает мышь с хвостом. Чтобы изменить положение курсора
  на экране монитора пользователь перемещает мышь по столу, нажимая ту
  или иную клавишу. Некоторые программы рассчитаны только на работу с
  мышью но большинство программ допускают ввод как с клавиатуры так и
  с мыши.

  Сканер - устройство для считывания графической и текстовой
  информации в компьютер. Сканеры бывают настольные, позволяющие
  обрабатывать весть лист целиком или ручные их нужно построчно
  проводить над нужным рисунком или текстом.

  Модем - устройство используемое при приеме или передаче информации
  по телефонной линии. Модем может соединить компьютер с другим
  омпьютером используя стандартную телефонную линию.
  Существует широкий выбор и других периферийных устройств
  встраиваемых в компьютер: графопостроители, игровые адаптеры, блоки
  расширения памяти, стриммеры и.т.д.

                           ОПЕРАЦИОННАЯ СИСТЕМА

  Операционная система - это программа, которая загружается при
  включении компьютера. Она производит диалог с пользователем,
  осуществляет управление компьютером, запускает другие программы.
  Операционная система обеспечивает пользователю удобный способ
 . общения (интерфейс) с устройствами компьютера.
  Основная причина необходимости операционной системы  состоит в том,
  что элементарные операции для работы с устройствами компьютера - это
  операции очень низкого уровня, поэтому действия, необходимые
  пользователю состоят из тысяч таких элементарных операций. Так даже
  для выполнения такого простого действия как ко7843$u

пирование файла с
  одной дискеты на другую необходимо выполнить тысячи операций по
  запуску команд дисководов, проверке их выполнения, поиску и
  обработке информации в таблицах размещения файла на диске и.т.д.
  Операционная система скрывает от пользователя эти сложные и ненужные
  ему подробности и предоставляет ему удобный интерфейс для работы.
  Как правило IBM PC работает под управлением операционной системы
  MS DOS фирмы Microsoft Corp. MS DOS получила широкое распространение
  благодаря сравнительно небольшому занимаемому дисковому пространству
  и затрачиваемой оперативной памяти, удобному интерфейсу хорошей
  совместимости с различной периферией.
  Операционная система MS DOS состоит из следующих частей:
  1) Базовая система ввода-вывода находящаяся в ПЗУ ко Эта
  часть ОС является встроенной в компьютер. Она выполняет наиболее
  простые и универсальные услуги ОС связаные с осуществлением
  ввода-вывода и содержит тест компьютера, проверяющий работу его
  устройств и памяти при включении  электропитания. Базовая система
  ввода-вывода содержит программу вызова загрузчика ОС.
  2) Загрузчик операционной системы - это короткая программа,
  находящаяся в первом секторе дискеты с ОС или винчестера. ЕЕ функция
  заключается в считывании в память еще двух модулей ОС.
  3) Дисковые файлы IO.SYS и MSDOS.SYS. Они загружаются в память
  загрузчиком ОС и остаются в памяти компьютера. Файл IO.SYS
  представляет собой дополнение к базовой системе ввода-вывода в ПЗУ.
  Файл MSDOS.SYS  реализует основные высокоуровневые услуги MSDOS.
  4) Командный процессор DOS - обрабатывает команды вводимые
  пользователем. Командный процессор находится в файле COMMAND.COM  на
  диске с которого загружается ОС. Некоторые команды пользователя,
  называемые внутренними например DIR или COPY  командный процессор
  выполняет сам. Для выполнения остальных (внешних) команд он ищет на
  дисках программу с соответствующим именем и если находит то
  загружает ее в память и передает ей управление. По окончании работы
  командный процессор удаляет программу из памяти и выдает приглашение
  DOS.
  5) Внешние команды DOS - это программы поставляемые вместе с ОС в
  виде отдельных файлов. Они выполяют действия обслуживающего
  характера, например форматирование дискет, тестирование дисков
  и.т.д.
 6) Драйверы устройств - это специальные программы, которые дополняют
  систему ввода-вывода DOS и обеспечивают обслуживание новых
  устройств. Драйверы загружаются в память компьютера при загрузке ОС
  и их имена указываются в специальном файле CONFIG.SYS. Это облегчает
  добавление новых устройств и позволяет делать это не затрагивая
  системных файлов DOS.

  Начальная загрузка DOS выполняется автоматически в следующих
  случаях:
   а) При включении электропитания.
   б) При нажатии на клавишу "Reset"
   в) При одновременном нажатии клавиш  C





              настил пола
       НАЧАЛО  ------------>ОКОНЧАНИЕ             ---------------->
                длительность
                            РИС.1.
     Одно из важнейших понятий сетевого графика-путь.
    Путь-это любая последовательность работ,в которой конечное
    событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней
    работы.Среди различ- ных путей сетевого графика наибольший интерес
    представляет полный путь.Полный путь-это любой путь,начало которого
    совпадает с исходным событием сети,а конец с завершающим событием
    сети.Наиболее продолжительный путь в сетевом графике называется
    критическим.Критическими называются также работы и события,расположенные на
    этом пути.Критический путь имеет особое значение,так как работы этого пути
    определяют общий цикл завершения всего комплекса работ,планируемых при
    помоши сетевого графика.И для сокращения продолжительности проекта
    необходимо в первую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на
    критическом пути.  Если единица времени(день,неделя) одна и та же для всех
    операций сетевого графика,то для указания длительности достаточнопривести
    только число этих единиц.Изображение операций делается без учета масштаба.
      Различают три вида операций:  а)Действительная операция-процесс,требующий
       затрат времени и pесурсов выполнение монтажных работ, подвоз материалов
        и.т.д.) б)Операция-ожидание-процесс,требующий только затрат
       времени(затвердение бетона, сушка штукатурки и.т.д)
       в)Фиктивная операция-логическая зависимость,которая отражает
        технологическую или ресурсную зависимость в выполнении некоторых
        операций.Ее обозначают штриховыми стрелками.Такая операция имеет нулевую
        длительность и не требует выполнение какой-либо работы.  Для каждой
          операции в сетевом графике могут существовать операции, заканчиваемые
     до ее начала,выполняемые параллельно с ней или начинающиеся только после ее
     завершения.Сетевой график не должен иметь замкнутых циклов;все его операции
     направлены слева направо.Его следует вычерчивать несколько раз,добиваясь
     мининума пересечскачать dle 11.0фильмы бесплатно
		
		
загрузка...

Внимание! Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.