» » » Математический анализ

Математический анализ


...

§ 1. Числовые функции

Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью выражают зависимости между различными переменными величинами. Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.

1. Определение

Пусть - некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например , и пишут . (1) Множество называется областью определения функции , - ее аргументом, а - значением функции в точке . Используются также обозначения: для области определения и для множества значений функции. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости вида , где . График дает наглядное представление о поведении функции, однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента. В качестве области определения функции могут выступать различные числовые множества, например: а) отрезок ; б) интервал ; в) полуинтервалы или ; г) бесконечные полуинтервалы или ; д) множество всех действительных чисел R =. Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции область определения и множество значений

имеют вид: , ; график функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. 2) Для функции имеем , ; график функции изображен на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функции имеем: , ; ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3.

2. Основные элементарные функций

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.

а) Линейная функция: R, где и некоторые постоянные (числа); график прямая с угловым коэффициен- том (, где угол наклона прямой к оси ):

Рис.4.

б) Квадратичная функция: R,

Рис. 5.

где , , - постоянные коэффициенты; график парабола, ее расположение существенно зависит от величины , называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента :

в) Обратно пропорциональная зависимость:

, где - постоянная. График гипербола:

Рис. 6.

г) Степенная функция: , где и - постоянные; область определения существенно зависит от . В п. в) рассмотрен случай , а в примере 1 - случай . Приведем еще графики функций для и :

Рис. 7.

е) Показательная функция: R, где - постоянная; график в зависимости от значения имеет вид:

Рис. 8.

Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными элементарными функциями. 3. Сложная функция

Пусть заданы функции и , причем множество значений функции принадлежит области определения функции : . Тогда можно определить сложную функцию , называемую также композицией функций и .

Пример. Из функций и с помощью указанной операции можно составить две сложные функции: и .

Используя операцию композиции, можно из основных элементарных функций, получать новые функции, также называемые элементарными. Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

Пример. Функция (читается: “модуль ”) является элементарной, так как для всех R справедливо представление . График этой функции приведен на рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратная функция

Рассмотрим функцию с областью определения и множеством значений . Предположим, что для любого уравнение имеет единственное решение. Тогда на множестве можно определить функцию, сопоставляющую каждому такое значение , что . Эту функцию называют обратной для функции и обозначают : . Функцию, у которой существует обратная функция, назовем обратимой. Обозначая, как обычно, аргумент функции через , а значение функции через , можно записать . Поскольку взаимная перестановка переменных и равносильна переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой ).

Примеры. 1) Для линейной функции обратная функция также линейна и имеет вид . Меняя местами и , получаем . Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции , , множество значений имеет вид . Для каждого уравнение имеет единственное решение . Поменяв местами и , получим , . Графики функций приведены на рис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной к показательной функции является логарифмическая функция . На рис. 12 представлены графики функций и .

Рис. 12.

Упражнения

1. Найти области определения следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) .

2. Построить графики функций: 1) , 2) ; 3) ; 4) ; 5) , 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

3. Найти функции обратные к функции , указать их области определения и построить графики: 1) ; 2) ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Ответы 1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) R; 6) R; 7) ; 8); 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) R; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22). . 3. 1) , R; 2) , R; 3), ; 4) , ; 5) , ; 6) , ; 7) , ; 8) ; 9) , ; 10) , R.




скачать dle 11.0фильмы бесплатно
загрузка...

Внимание! Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.